Polinomi sa cjelobrojnim koeficijentima 
Vrsta: Maturski | Broj strana: 14 | Nivo: Srednja škola

U ovom maturskom radu sam izabrao problem rješavanja polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima, jednim dijelom zato što mi je uvijek bilo drago baviti se ovakvim izrazima, a drugim dijelom zato što je ova tema predstavljala određen izazov i zadatak. Ovaj maturalni rad mi postavlja određen cilj, a to je da dokučim i saznam nešto novo iz ove oblasti jer znanja nikada nije dosta, zar ne.
POLINOMI SA CJELOBROJNIM KOEFICIJENTIMA
U dosadašnjem školovanju smo se često susretali sa polinomima. U ovom radu ću se baviti osobinama polinoma čiji su koeficijenti cijeli brojevi. Takve polinome ćemo nazivati polinomi sa cjelobrojnim koeficijentima. Skup svih polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima u varijabli x označavamo sa Z EMBED Equation.3 .
Za daljnji rad potrebna nam je sljedeća lema iz elementarne teorije brojeva.
Tema 1. Neka su p i q relativno (uzajamno) prosti cijeli brojevi. Tada su brojevi p-kq i qn takođe relativno prosti brojevi za svaki prirodan broj n i cio broj k za koji je p-kq EMBED Equation.3 0.
Dokaz: Pretpostavimo suprotno. Tada postoji prost broj d EMBED Equation.3 1 koji dijeli oba od brojeva p-kq i qn. Neka je p - kq = da i qn =db za neke cijele brojeve a i b. Kako prost broj d dijeli proizvod qn=q EMBED Equation.3 q EMBED Equation.3 ... EMBED Equation.3 q, to on dijeli i jedan od faktora ovog proizvoda. Prema tome, d dijeli q. Neka je q=dq'. Tada je
p=kq + da = kdq'+da= d(kq' +a).
Dakle, d dijeli brojeve p i q, Što je u suprotnosti sa Činjenicom da su p i q relativno prosti.
Teorema 1.
Neka je f(x)=anxn+an-,xn-1+...+a1x+a0(a0•an EMBED Equation.3 0) polinom sa cjelobrojnim koeficijentima. Ako je racionalan broj EMBED Equation.3 , gdje su p i q različiti od nule i relativno prosti cijeli brojevi, nula
polinoma f(x),onda:
i) p dijeli a0, a q dijeli an;

---------- CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU. ---------- 

www.maturski.org 

 

MOŽETE NAS KONTAKTIRATI NA E-MAIL: [email protected]